Comment calculer la résistance des dents d'un engrenage

Le calcul de la résistance des dents d'engrenage consiste à déterminer la charge qu'elles peuvent supporter avant de se rompre par flexion ou contrainte de contact. Il faut évaluer la contrainte de flexion à la racine de la dent et la contrainte de contact à sa surface, puis comparer ces valeurs aux limites admissibles du matériau.

Deux types de défaillance des dents d'engrenage

Les dents d'engrenage se détériorent principalement de deux manières : par flexion à la racine et en surface, sous l'effet des contraintes de contact. La flexion se produit lorsque la dent se casse à sa base, comme une poutre en porte-à-faux sous une charge excessive. La surface se détériore lorsque des contacts répétés provoquent des piqûres et de l'usure sur la face de la dent.

Il est essentiel de vérifier les deux modes de défaillance, car les engrenages peuvent tomber en panne dans les deux cas. Un engrenage doté de dents épaisses et courtes peut bien supporter les contraintes de flexion, mais se rompre par piqûres de surface. À l'inverse, des dents fines peuvent se briser avant même de présenter une usure superficielle.

L'équation de résistance à la flexion de Lewis

L'équation de Lewis calcule la contrainte de flexion à la racine de la dent en utilisant cette formule : σ = Wt / (F × m × Y)

Voici ce que signifie chaque variable :

• Wt = charge tangentielle sur la dent (en Newtons ou en livres)
• F = largeur de face de l'engrenage (en mm ou en pouces)
• m = module de l'engrenage (diamètre primitif divisé par le nombre de dents)
• Y = facteur de forme de Lewis (dépend de la forme et du nombre de dents)

Le facteur de forme de Lewis tient compte de la géométrie des dents et de la concentration des contraintes à la racine. Les valeurs Y sont indiquées dans les tableaux de conception d'engrenages standard ; elles sont généralement comprises entre 0.3 et 0.5 pour les nombres de dents courants.

Pour utiliser cette équation, calculez d'abord la charge tangentielle à partir du couple et du rayon primitif. Recherchez ensuite le facteur de Lewis correspondant à la géométrie de votre engrenage. Enfin, intégrez tous les éléments dans la formule et comparez le résultat à la contrainte de flexion admissible de votre matériau.

La méthode de contrainte de flexion AGMA

La méthode de l'American Gear Manufacturers Association (AGMA) fournit un calcul plus précis en incluant des facteurs de correction supplémentaires : σ = Wt × Kv × Ko × Ks × KH × KB / (F × m × J)

Les facteurs de correction tiennent compte des conditions réelles :

• Ko = facteur de surcharge (1.0 pour une charge uniforme, jusqu'à 2.0 pour un choc important)
• Kv = facteur dynamique (tient compte de la vitesse et de la qualité de fabrication)
• Ks = facteur de taille (généralement 1.0 pour la plupart des engrenages)
• KH = facteur de répartition de la charge (prend en compte la déflexion et le désalignement de l'arbre)
• KB = facteur d'épaisseur de jante (1.0 pour les engrenages pleins)
• J = facteur géométrique (remplace le facteur Y de Lewis)

Commencez par calculer la contrainte de base, puis multipliez par chaque facteur pour obtenir la contrainte réelle. La plupart des logiciels de conception incluent automatiquement ces facteurs, mais les comprendre vous aide à prendre de meilleures décisions de conception.

Calcul de la contrainte de contact (contrainte hertzienne)

La contrainte de contact détermine la durabilité de la surface à l'aide de l'équation de contrainte hertzienne : σc = Cp × √(Wt × Ko × Kv × Ks × KH / (F × dp × I))

Les nouvelles variables ici sont :

• Cp = coefficient d'élasticité (dépend des matériaux des deux engrenages)
• dp = diamètre primitif du pignon
• I = facteur géométrique pour la contrainte de surface

Le coefficient d'élasticité reflète la déformation des matériaux sous charge. Les engrenages acier sur acier utilisent généralement C_p = 190 √MPa (ou 2 290 √psi). Différentes combinaisons de matériaux nécessitent des valeurs différentes.

Les contraintes de contact engendrent une fatigue superficielle sur des millions de cycles. Même si la contrainte semble acceptable pour une seule charge, des cycles répétés peuvent provoquer des piqûres et, à terme, une défaillance.

Facteurs de sécurité et sélection des matériaux

Appliquer des facteurs de sécurité de 1.5 à 2.0 pour la contrainte de flexion et de 1.0 à 1.4 pour la contrainte de contact. Ces facteurs tiennent compte des incertitudes liées à la charge, aux propriétés des matériaux et aux variations de fabrication.

Choisissez les matériaux en fonction des exigences de résistance :

• Pour la résistance à la flexion : regardez la limite d'élasticité ou la limite d'endurance du matériau
• Pour la contrainte de contact : Tenez compte de la dureté de la surface du matériau et de sa résistance à la fatigue

Les aciers cémentés offrent une excellente durabilité de surface tout en conservant une âme solide. Les aciers trempés à cœur offrent des propriétés constantes, mais peuvent présenter des caractéristiques de surface inférieures.

Étapes de calcul pratiques

Suivez cette approche systématique pour tout calcul de résistance d’engrenage :

1. Déterminer la charge tangentielle à partir de votre couple et de la géométrie de votre engrenage : Wt = 2T/dp
2. Calculer la contrainte de flexion en utilisant soit la méthode de Lewis, soit la méthode AGMA
3. Calculer la contrainte de contact en utilisant l'équation hertzienne
4. Rechercher les contraintes admissibles pour le matériau que vous avez choisi à partir des tables de conception
5. Comparer les contraintes calculées aux valeurs admissibles y compris les facteurs de sécurité
6. Itérer votre conception si les contraintes dépassent les limites, ajustez la largeur de la face, le module ou le matériau

FAQ

Quelle est la différence entre le module et le pas diamétral ?

Le module est la manière dont le système métrique définit la taille des dents d'engrenage (diamètre primitif divisé par le nombre de dents, en mm). Pas diamétral est l'équivalent impérial (nombre de dents divisé par le diamètre primitif, en pouces). Ce sont des inverses lors de la conversion entre systèmes.

Comment trouver le facteur de forme Lewis pour mon équipement ?

Les facteurs de forme Lewis sont tabulés dans les manuels de conception d'engrenages en fonction du nombre de dents et angle de pressionPour les engrenages à angle de pression de 20°, Y varie d'environ 0.32 pour 15 dents à 0.47 pour 300 dents et plus.

Puis-je utiliser le même calcul pour les engrenages hélicoïdaux ?

Les engrenages hélicoïdaux nécessitent des calculs modifiés qui tiennent compte de la angle d'héliceLe nombre virtuel de dents (dents réelles divisées par le cos³ de l'angle d'hélice) remplace le nombre réel de dents dans les recherches de facteurs de forme.

Quel facteur de sécurité dois-je utiliser ?

Utiliser des coefficients de 1.5 à 2.0 pour la flexion et de 1.0 à 1.4 pour la contrainte de contact dans les applications courantes. Les applications critiques (aéronautique, médical) peuvent nécessiter des coefficients de 3.0 ou plus. Tenir compte des conséquences d'une défaillance lors du choix des coefficients.

Comment la qualité des engrenages affecte-t-elle les calculs de résistance ?

Les engrenages de qualité supérieure (AGMA Q10-12) présentent des facteurs dynamiques plus faibles, car ils fonctionnent plus régulièrement. Les engrenages de qualité inférieure (Q5-7) nécessitent des facteurs dynamiques plus élevés pour tenir compte des variations de fabrication et des charges d'impact qui en résultent lors de l'engrènement.